【问题情境】和是共顶点的两个三角形，点P是边BC上一个动点（不与B重合），且，，连接CD．

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1. 【问题情境】 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共顶点的两个三角形，点P是边BC上一个动点（不与B重合），且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接CD．

(1) 【特例分析】
如图①，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时．猜想PB与CD之间的数量关系，并说明理由；并求出∠ACD的度数．

(2) 【拓展探究】
如图②，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时．请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．

(3) 【学以致用】
如图③，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求CD的长．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在线段AC上.

图（1）图（2）图（3）

(1) 【特例证明】

如图（1），当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比探究】

如图（2），当 $\text{[math]}$ ，点D是线段AC上任一点时，证明：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展运用】

如图（3），当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BC长.

实践探究题普通

2. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ （n为正整数），E是 $\text{[math]}$ 边上的动点，过点D作 $\text{[math]}$ 的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 【初步感知】

如图1，当 $\text{[math]}$ 时，兴趣小组探究得出结论： $\text{[math]}$ ，请写出证明过程．

(2) 【深入探究】

如图2，当 $\text{[math]}$ ，且点F在线段 $\text{[math]}$ 上时，试探究线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，请写出结论并证明．

(3) 【拓展运用】

请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 $\text{[math]}$ 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．

实践探究题困难

3. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3) 【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难