如图，在四边形ABCD中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N ．

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1. 如图，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别相交于点M、N ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若菱形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

平行线的性质; 三角形全等及其性质; 线段垂直平分线的性质; 勾股定理; 平行四边形的判定; 菱形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动：点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿射线 $\text{[math]}$ 运动．点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时停止运动．连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等时，

①若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的移动速度相同，求 $\text{[math]}$ 的值．

②若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的移动速度不同，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

(1) 判断DE与PD的位置关系，并说明理由；

(2) 若AC＝3，BC＝4，PA＝1，则线段DE的长为．

综合题普通

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点A的对应点G与点C的对应点H均落在对角线 $\text{[math]}$ 上．

①试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，点P是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ ，点B的对应点是点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 均落在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，且点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在同一条直线上．

①判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积

综合题普通