【课本再现】

1. 【课本再现】

(1) 正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形 $\text{[math]}$ 的面积的比值是 $\text{[math]}$ ；在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．

(2) 【拓展延伸】如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，旋转过程中， $\text{[math]}$ 的两边分别与 $\text{[math]}$ 边和 $\text{[math]}$ 边交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①在 $\text{[math]}$ 的旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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实践探究题普通

1. 综合与实践

在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．

“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：

第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展开铺平；

第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；

第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．

他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．

(1) 试证明上面的结论：

(2) “奋进”小组的同学是这样操作的：

第一步：先将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，找到AD的中点E；

第二步：再折出正方形纸片ABCD的对角线AC，以及点B和点E的连线BE，这两条折痕相交于点F；

第三步：最后，过点F折出AB的平行线GN，分别与AD，BC交于点G和点N．

①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置；

②请结合①中所画的图形，判断点G是否为AD边的三等分点，并说明理由．

实践探究题困难

2. 问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

(1) 【发现证明】

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

(2) 【类比引申】

如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足系时，仍有EF=BE+FD．

(3) 【探究应用】

如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ $\text{[math]}$ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ =1.41， $\text{[math]}$ =1.73）

实践探究题困难

3. 如图

(1) [感知]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB中点，易知OA=OB=OC，则点A、B、C在以AB为直径的⊙O上．

[应用]如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：四边形ABCD有外接圆．

(2) [拓展]如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD=4，∠BCD=75°，

连结BD，则∠ABD的度数为，BD的长度为

(3) 如图④，连结AC，将△ABC沿AC翻折得△AEC，连结DE，则∠AED的度数为．DE的长度为

实践探究题普通