在正方形中，点是对角线上的一点，且，将线段绕着点顺时针旋转至，记旋转角为，连接、，并以为斜边在其上方作，连接．

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1. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并以 $\text{[math]}$ 为斜边在其上方作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 特例探究：如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，

①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；

②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 拓展提升：若正方形 $\text{[math]}$ 改为矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其它条件不变，在旋转的过程中，当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，如图3所示，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 实践与探究

情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且 $\text{[math]}$ ，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF．

(1) 问题发现

图（1）中，线段AE与BF的数量关系是；

直线AE与直线BF的夹角的度数是．

(2) 问题拓展

当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由．

(3) 问题延伸

在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长．

综合题困难

2. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

(1) 猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

(2) 过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

综合题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的对角线，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ .

(1) 当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；

(2) 如图①，当四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为正方形时，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 如图②，当四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为矩形，且 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难