如图1，锐角内接于， D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

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1. 如图1，锐角 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ，过C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点F，点G在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) ①求证： $\text{[math]}$ ．

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值，

(3) 如图2，当点O恰好在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ， DE＝1，求AE的长度；

(3) 在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB=AC，⊙O是 $\text{[math]}$ 的外接圆，CD与⊙O的另一个交点为E，连结AE.

(1) 当点E在线段CD上时，如图1.

①求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径.

(2) 当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F. 如图2，若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 互相垂直，垂足为H，点E是弧 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点M，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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