如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，．

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1. 如图，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间不能直接测量），点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 异侧，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F是射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为点E，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点D．

(1) 如图1所示，当点F在线段 $\text{[math]}$ 延长线上时，求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2所示，当点F在线段 $\text{[math]}$ 上时，连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 于M， $\text{[math]}$ 于N，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

综合题困难

2. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

(1) 求证：AE⊥BF；

(2) 将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；

(3) 将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

综合题普通

3. 问题探究：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

(1) 证明：AD=BE；

(2) 求∠AEB的度数．

(3) 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

综合题困难