在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，且、．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 在x轴正半轴上， $\text{[math]}$ 在y轴正半轴上，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上取一点E，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的F处，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 将矩形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边沿x轴负方向平移至 $\text{[math]}$ (其它边保持不变)，M、N分别在边 $\text{[math]}$ 上且满足 $\text{[math]}$ ．如图2，P、Q分别为 $\text{[math]}$ 上一点．若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

坐标与图形性质; 勾股定理; 正方形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点F，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 发现问题：如图1，当点E在线段 $\text{[math]}$ 上时.

①求证四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

②猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由.

(2) 类比探究：当点E运动到如图2所示的位置时，求 $\text{[math]}$ 的度数.

(3) 拓展运用：如图3，当点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

综合题普通

3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A（0，8），C（6，0）．动点P从点B出发，以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动时间为t秒．

(1) 当t=s时，以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形；

(2) 当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值；

(3) 将△OBP沿直线OP翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上，求t的值．

综合题困难