数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．

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1. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 $\text{[math]}$ 角的三角尺放在正方形 $\text{[math]}$ 中，使 $\text{[math]}$ 角的顶点始终与正方形的顶点 $\text{[math]}$ 重合，绕点 $\text{[math]}$ 旋转三角尺时， $\text{[math]}$ 角的两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 始终与正方形的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线分别相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．

(1) 【探究一】

如图②，把 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，同时得到点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上．求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【探究二】

在图②中，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 【探究三】

把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 $\text{[math]}$ 与三角尺 $\text{[math]}$ 角两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【证明体验】

(1) 如图①，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【思考探究】如图②，在①的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 【拓展延伸】如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

2. 【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边AC，BC的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接AE，BF，试探究AE，BF之间存在怎样的数量关系和位置关系？

(1) 【特例探究】若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE，AC分别交于点M，N．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：

∵ $\text{[math]}$ ， E，F分别为AC，BC的中点，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （）

∴AEBF， $\text{[math]}$ ，又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AEBM．

(2) 【猜想证明】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF，BC分别交于点M，N，猜想AE与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；

(3) 【拓展运用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直线AE，BF相交于点M，当以点C，E，M，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长．

实践探究题困难

(1) [感知]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB中点，易知OA=OB=OC，则点A、B、C在以AB为直径的⊙O上．

[应用]如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：四边形ABCD有外接圆．

(2) [拓展]如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD=4，∠BCD=75°，

连结BD，则∠ABD的度数为，BD的长度为

(3) 如图④，连结AC，将△ABC沿AC翻折得△AEC，连结DE，则∠AED的度数为．DE的长度为

实践探究题普通