已知正方形，为对角线上一点．

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1. 已知正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上一点．

(1) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，F是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长为．

【考点】

等腰三角形的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

1. 已知，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题困难

2. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若E为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的面积，

综合题普通

3. 如图，在边长为4的正方形 $\text{[math]}$ 中，

(1) 如图1， $\text{[math]}$ ，垂足为点O，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ，点F、R和S分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难