如图，在矩形中，对角线的重直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 的重直平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边开 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 菱形的性质; 矩形的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一个动点，把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处．

(1) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平面内一点，当以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为菱形时，求出点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 如图3，连 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中，E为边 $\text{[math]}$ 上的动点，F为边 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ．

①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点A落在点G处，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于H，求 $\text{[math]}$ 的长；

②如图②，将矩形纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点B与点D重合，求折痕 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图③，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点A落在点G处，且点G在矩形 $\text{[math]}$ 内部，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 如图，在一张水平桌面上放一面平面镜，镜子上竖直固定一张长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形屏幕 $\text{[math]}$ ，一束光线从点C射入，由 $\text{[math]}$ 上某一点反射后恰好从点D射出，求光线在屏幕上通过的距离．

解答题普通