如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接若．

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1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．

【考点】

圆周角定理; 切线的判定; 解直角三角形;

【答案】

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解答题普通

1. 下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知： $\text{[math]}$ 和圆外一点P．求作：过点P的 $\text{[math]}$ 的切线．作法：①连接 $\text{[math]}$ ；②以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点A，B；③作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；所以直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线．

根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．

证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，

∴ $\text{[math]}$ =∠ ▲ = ▲ º

（ ▲ ）（填推理的依据）．

∴ $\text{[math]}$ ， ▲ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的半径，

∴直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线（ ▲ ）（填推理的依据）．

解答题普通

2. 如图，在圆内接四边形ABCD中，BD为⊙O的直径，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE并延长AE交⊙O于点G ，圆心O在AG上，过点D作DF∥AG ．

(1) 求证DF为⊙O的切线；

(2) 若OA＝5，tan∠ABC＝2，求CD的长．

解答题普通

3. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的最小值，并说明理由．

新定义：在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ 为定点，对点 $\text{[math]}$ 给出如下定义，在射线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为整数），则称 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 倍点”．

（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 是半径为1的 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的“二倍点”，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得线段 $\text{[math]}$ 最小；若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值，并直接写出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难