综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．

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1. 综合与实践：

问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，F为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．

(1) 观察发现：

如图1，若F为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ ，点G与点H重合，则 $\text{[math]}$ °， $\text{[math]}$ ；

(2) 问题探究：

如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 拓展延伸：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若F为 $\text{[math]}$ 的三等分点，请求出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 等腰直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，得到折痕 $\text{[math]}$ ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，点B落在点 $\text{[math]}$ 处，得到折痕 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，再把纸片展平．

问题解决：

(1) 如图1，填空：四边形 $\text{[math]}$ 的形状是；

(2) 如图2，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

(3) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

[问题背景]

如图1．数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作；①分别以点B． C 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E、F，作真线EF交BC于点O．连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．

[问题提出]

在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长：

[问题解决]

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连按OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长：

方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．

请你任选其中一种方案求线段CQ的长．

实践探究题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：

(1) 经过多少时间， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，此时， $\text{[math]}$ 长为多少cm．

(2) 探究：是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，如果存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

实践探究题普通