对于一个两位数十位和个位均不为，将这个两位数的十位和个位上的数字对调得到新的两位数，称为的“对调数”，将放在的左侧得到一个四位数，记为，将放在的右侧得到一个四位数，记为，规定，例如：的对调数为，则；若为整数，，为整数，，和的十位、个位均不为，的对调数与的对调数之和能被整除，则的最小值为．

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1. 对于一个两位数 $\text{[math]}$ 十位和个位均不为 $\text{[math]}$ ，将这个两位数 $\text{[math]}$ 的十位和个位上的数字对调得到新的两位数 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“对调数”，将 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 的左侧得到一个四位数，记为 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 的右侧得到一个四位数，记为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ 的对调数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的十位、个位均不为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对调数与 $\text{[math]}$ 的对调数之和能被 $\text{[math]}$ 整除，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

【考点】

因式分解的应用;

【答案】

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填空题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 若实数a、b满足a+b=﹣2，a²b+ab²=﹣10，则ab的值是．

填空题容易

2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是.

填空题容易

3. 已知 $\text{[math]}$ ，a﹣b＝1，则a²﹣b²＝.

填空题容易

1. 一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．例如，对于258，因为 $\text{[math]}$ ，所以258是“合十数”．在“合十数”n中，十位数字的2倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为 $\text{[math]}$ ，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为 $\text{[math]}$ ，若“合十数”n满足 $\text{[math]}$ ，则满足条件的“合十数”n的值为．

填空题困难

2. 数字153又叫“圣经数”，它是一位叫科恩的以色列人发现的．他在读圣经时，有一段内容是耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来”．西门彼得就去把网拉到岸上，那网网满了大鱼共153条．数感极好的科恩无意中发现153是3的倍数，并且它的各位数字的立方和仍然是153，他又用另外一些3的倍数来做同样的计算，最后的得数都掉进数字黑洞153中，于是科恩就把153称为“圣经数”．像153这样的数字黑洞还有很多，比如同学们选一个四位数2413，然后将这个四位数先按从大到小的顺序排列成一个新的四位数，再按从小到大的顺序排制成另一个新的四位数，接着用较大的数减去较小的那个数得到一个结果m ，最后对得到的这个数m重复上述步骤，最终会得到一个固定的四位数．其实任选一个四位数（四个数字不能全相同）重复上述过程，最后得到的数都会掉进这个固定数字黑洞中．则这个固定的四位数是．

填空题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

填空题普通

1. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= $\text{[math]}$ ．

例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（Ⅱ）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

（Ⅲ）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．

证明题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

计算题普通

3. 当 $\text{[math]}$ 为何值时，多项式 $\text{[math]}$ 有最大值？并求出这个最大值．

计算题普通

1. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．

(1) 如图1可以用来解释完全平方公式：，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

(2) 如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且 $\text{[math]}$ ．

①观察图形，可以发现代数式 $\text{[math]}$ 可以分解因式为；

②若每块小长方形的面积为 $\text{[math]}$ ，四个正方形的面积和为 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若这两个正方形的边长满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出阴影部分的面积．

综合题困难

2. 分解因式

(1) $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ ；

(3) $\text{[math]}$ ；

(4) 计算： $\text{[math]}$ ．

计算题困难

3. 阅读下列材料：

若设关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么由根与系数关系得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．