在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．

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1. 在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．

(1) 如图，大正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，直接写出下到结果．

①中间小正方形的边长；

②用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的 $\text{[math]}$ 倍．

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 若当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值唯一确定，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．

【考点】

完全平方公式的几何背景;

【答案】

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实践探究题普通

1. 【知识生成】

通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．

例如：如图①是个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

（1）请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积：

方法1：____________；方法2：____________；

由此可以得出 $\text{[math]}$ 之间的等量关系是____________；

【知识迁移】

类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．

（2）如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；

（3）已知 $\text{[math]}$ ，利用（2）的结论求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

2. 微专题探究学习：《面积与完全平方公式》

如图1，阴影部分是一个边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分．

(1) ①图1中剪去的长方形的长为________，宽为________．

②用两种方式表示阴影部分的面积为________或________．

由此可以验证的公式为________________．

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若 $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积．

实践探究题普通

3. 数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式，如图1是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个大正方形．

(1) 【知识生成】

请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m ， n的代数式表示）：

方法一：；

方法二：；

(2) 【得出结论】

根据（1）中的结论，请你写出代数式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系为；

(3) 【知识迁移】

如图3，有两个正方形A和B边长分别为a和b ，将B放入在A的内部如图4，此时阴影部分面积为 $\text{[math]}$ ，将A和B并排放置后构造新的正方形如图5，此时阴影部分面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

实践探究题普通