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1. 综合与实践

【问题情境】

在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动．已知，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点P是AB边上一点，将△APD沿直线PD折叠，点A的对应点为点E．

【操作发现】

(1) 如图①，当点P与点B重合时，过点E作EF∥AB，交BD于点F，连结AF，试判定四边形ABEF的形状，并说明理由．
(2) 操作二：如图②，当点E落在BC边上时，AP＝．
(3) 操作三：如图③，当点P为AB中点时，延长DE交BC于点G， 连结PG， 则tan∠PGB＝．
【考点】
勾股定理; 翻折变换（折叠问题）; 锐角三角函数的定义;
【答案】

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实践探究题 普通
能力提升
真题演练
换一批
1. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；
(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
(3) 【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．
实践探究题 困难
2. 如图，为线段AB上一点， ， 射线于点C，P为射线CD上一点，连结PA，PB.

(1) 【发现、提出问题】

①当PC=3时，求的值.

②小亮发现PC取不同值时，的值存在一定规律，请猜想该规律：    ▲     .
(2) 【分析、解决问题】请证明你的猜想.
(3) 【运用】当时，求的周长.
实践探究题 普通
3.  
(1) 【回顾】

如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于．
(2) 【探究】

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°= ，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°= ，请你写出小明或小丽推出sin75°= 的具体说理过程．
(3) 【应用】

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）

①点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；

②点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．
实践探究题 困难