对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．

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1. 对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．

例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．

(1) 若点A表示数 $\text{[math]}$ ，点B表示数3，下列各数， $\text{[math]}$ ， 0，1所对应的点分别是 $\text{[math]}$ ，其中是点A，B的“联盟点”的是；

(2) 点A表示数 $\text{[math]}$ ，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：

①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；

②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．

【考点】

数轴及有理数在数轴上的表示; 有理数大小比较; 定义新运算;

【答案】

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实践探究题困难

1. 定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就点C是(A，B)的美好点例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(A，B)的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是〔A，B)的美好点，但点D是(B，A)的美好点。

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N所表示的数为2.

(1) 点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是(M，N)美好点的是；写出(N，M)美好点H所表示的数是。

(2) 现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点?

实践探究题困难

2. 设a、b都表示有理数，规定一种新运算”△”：当a≥b时，a△b=b²：当a<b时，a△b=2a-b．

例如：1△2=2×1-2；3△（-2）=（-2）²=4．

(1) 求（-4）△（-5）的值；

(2) 求（-3△2）△（-9）．

实践探究题普通

3. 【概念学习】：

规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“2的3次商”， $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的4次商”.一般地，我们把n个 $\text{[math]}$ 相除记作 $\text{[math]}$ ，读作“a的n次商”

(1) 【初步探究】：直接写出结果： $\text{[math]}$ ；

(2) 关于除方，下列说法错误的是；

①任何非零数的2次商都等于1；

②对于任何正整数n ， $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；

④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数.

(3) 【深入思考】：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例： $\text{[math]}$ 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

(4) 计算： $\text{[math]}$

实践探究题困难