课本再现如图，直线l垂直平分线段AB ，，，， …是l上的点，分别量一量点，，， …到点A与点B的距离，你有什么发现？可以发现，点，，， …到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.

1. 课本再现

如图，直线l垂直平分线段AB ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …是l上的点，分别量一量点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …到点A与点B的距离，你有什么发现？可以发现，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.

(1) 定理证明

为了证明该性质，珍珍画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.

已知：如图1，直线 $\text{[math]}$ ，垂足为C ， $\text{[math]}$ ，点P在直线l上，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 知识应用

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， DE ， FG分别是边AB ， AC的垂直平分线，与 $\text{[math]}$ 的交点分别为D ， E ， F ， G ，连接AD ， AF ，求 $\text{[math]}$ 的周长.

【考点】

三角形全等的判定; 线段垂直平分线的性质;

【答案】

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实践探究题普通

1. 综合与实践

课间，小鑫在草稿纸上画了一个直角三角形．如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，他想到了作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．他和同桌开始探讨线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系．

(1) 尝试探究：当 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．（填“>”、“<”或“=”）

(2) 得出结论：若 $\text{[math]}$ 为任意锐角，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系是 $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ，请说明理由．（填“>”、“<”或“=”）

(3) 应用结论：利用上面的结论继续研究，如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一个动点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 运动到某处时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正好互相垂直，此时 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 吗？请说明理由．

实践探究题困难

(1) 【初步探索】

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD ，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG＝BE ．连接AG ，先证明△ABE≌△ADG ，再证明△AEF≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；

(2) 【灵活运用】

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3) 【拓展延伸】

如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD ，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD ，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

实践探究题困难

3. 【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后、我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，然后，对 $\text{[math]}$ 进行分类，可分为“ $\text{[math]}$ 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【逐步探究】

(1) 第一种情况：当 $\text{[math]}$ 是直角时，如图①，根据定理，可得 $\text{[math]}$ ；

(2) 第二种情况：当 $\text{[math]}$ 是钝角时， $\text{[math]}$ 仍成立，请你完成证明.

已知：如图②，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∠B=∠E，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是钝角，求证 $\text{[math]}$ ；

(3) 第三种情况：当 $\text{[math]}$ 是锐角时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不一定全等.在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是锐角，请你用尺规在图③中作出 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不全等（不写作法，保留作图痕迹）：

(4) 【深入思考】

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是锐角，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ .

实践探究题普通