如图，在等腰直角中，，，点D、E分别在边、上（不与点A、B、C重合），连接、，有．

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1. 如图，在等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上（不与点A、B、C重合），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯 $\text{[math]}$ 的高度为4.8米，右侧乙路灯 $\text{[math]}$ 的高度为6.4米，两路灯之间的距离 $\text{[math]}$ 为12米，已知小明的身高 $\text{[math]}$ 为1.6米，小明在两路灯之间行走（如图所示），并测量相关数据.

(1) 当小明站在人行横道的中央时（即点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点），则小明在两路灯下的影长之和 $\text{[math]}$ ________米；

(2) 当小明移动到某一点时， $\text{[math]}$ ，求影长 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 当小明移动到某一点时，两路灯产生的影长相等（ $\text{[math]}$ ），此时小明距离甲路灯多远？

解答题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P从B出发沿 $\text{[math]}$ 向A运动，速度为每秒1 cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时．点Q从A出发沿 $\text{[math]}$ 向C运动，速度为每秒2 cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求此时t的值．

(2) 在运动过程中是否存在某一时到t，使得 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

(3) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？（直接写出结果）

解答题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通