课本再现：如图正方形对角线与相交于点O ， E为上任意点（不与B ， C重合），作交于点F ．

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1. 课本再现：如图正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O ， E为 $\text{[math]}$ 上任意点（不与B ， C重合），作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ．

(1) 在图1中解答下列问题：

①）求证： $\text{[math]}$

②）当正方形 $\text{[math]}$ 的面积为4时，小明发现以下结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（填序号）

(2) 如图2，当点P为线段 $\text{[math]}$ 上任意点时（P不与O ， C重合），E ， F为分别为边 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ ．问： $\text{[math]}$ 之间有何数量关系，并说明理由．

(3) 如图3，将图2中正方形 $\text{[math]}$ 改成矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其它条件不变，直接写出 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的判定; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°

(1) 求证△ABE∽△ECD；

(2) 若AB＝4，BE＝ $\text{[math]}$ ，求CD的长.

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC，求证：

(1) △ADE∽△CDA；

(2) ∠1＋∠2＋∠3＝90°

综合题普通

3. 综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．

(1) 如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB=；

(2) 如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF=90°，EF=2DE，求出DF的长；

(3) 在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．

综合题普通