如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

【操作判断】

操作一：

如图1，正方形纸片ABCD ，将 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE ，点B的对应点为M ，连接AM；将 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF ，将纸片展平，连接EF ．

(1) 根据以上操作，易得点E ， M ， F三点共线，且① $\text{[math]}$ °；②线段EF ， BE ， DF之间的数量关系为．

(2) 【深入探究】操作二：如图2、将 $\text{[math]}$ 沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．
小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论 $\text{[math]}$ ，请证明该结论是否成立，并说明理由．

(3) 【拓展应用】

若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长．

实践探究题普通

2. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内

请根据表格信息，解答下列问题．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 若想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，则在 $\text{[math]}$ 长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？

实践探究题普通

3. 在数学学习中，观察 $\text{[math]}$ 实验 $\text{[math]}$ 猜想 $\text{[math]}$ 证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：

【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为 $\text{[math]}$ ，斜边为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．对于一般的三角形 $\text{[math]}$ ，三边长分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其边长的平方是否也存在某种关系．

【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：

当 $\text{[math]}$ 是锐角三角形时，三边之间的关系是： $\text{[math]}$ ；

当 $\text{[math]}$ 是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．

【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．这样就把锐角 $\text{[math]}$ 分成了两个直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．