综合与探究在矩形的边上取一点E ，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处．

1. 综合与探究

在矩形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上取一点E ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点C恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点F处．

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图③，延长 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点M ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. [教材呈现]下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：

我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时．所截得的线段存在一定的比例关系： $\text{[math]}$ ．这就是如下的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．(简称“平行线分线段成比例")

(1) [问题原型]如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F点P、(分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．

求证：PM=QM．

(2) [结论应用]如图②，在[问题原型]的基础上，点R在边BC上(不与点Q重合)，连结PR交EF于点N．

①若MN=4．则线段QR的长为▲.

①当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若AB=6 ，BC=8，连结CM，则△QMC周长的最小值为▲.

实践探究题普通

2. 综合与探究

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P，Q分别从点A，C处同时出发，点P以 $\text{[math]}$ 的速度从点A移动到点B，点Q以 $\text{[math]}$ 的速度从点C向点D移动，点Q随点P的停止而停止移动，设移动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ？

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(3) 当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，直接写出t的值．

实践探究题困难

3. 综合与实践：

在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．

【问题发现】（1）如图 1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边的中点，E 为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 A、C 的对应点分别为点 G、H，点 G 与点 H 重合，则 $\text{[math]}$ ____°， $\text{[math]}$ _____；

【类比探究】

（2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边的中点，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点A、C的对应点分别为点G、H，且D、H、G 三点共线，求 $\text{[math]}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边上的三等分点，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，点G与点H重合，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点P，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难