过四边形的顶点A作射线， P为射线上一点，连接．将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．

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1. 过四边形 $\text{[math]}$ 的顶点A作射线 $\text{[math]}$ ， P为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，且 $\text{[math]}$ ．无论点P在何处，总有 $\text{[math]}$ ，请证明这个结论．

(2) 如图2，如果四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，如果四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在射线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D在边AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE，连接ED并延长交BA的延长线于点F．

(1) 求证：∠CDE=∠ABD；

(2) 探究线段AD，CD，BE之间的数量关系，并说明理由；

(3) 若AD=1，CD=3，求线段EF的长．

综合题困难

2. 在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．

(1) 当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；

(2) 当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积；

(3) 点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．

综合题困难

3. 将一副三角尺如图①摆放，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转角 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），此时的等腰直角三角尺记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的值是否随着 $\text{[math]}$ 的变化而变化？如果不变，请求出 $\text{[math]}$ 的值；反之，请说明理由.

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