如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠得到，边，分别交于点M ， N ．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点M ， N ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时．

①求BE的长；

②若点P是 $\text{[math]}$ 边上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 的垂线交线段 $\text{[math]}$ 于点Q ，试探究 $\text{[math]}$ 的值是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，矩形ABCD中，AB=a ， BC=6，点E ， F分别为AD ， AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P ．

(1) 若点B与点F重合

①如图2，若a=5，当点P落在BC中垂线上时，求AE的长；

②当点P可以两次落在在BC中垂线上时，求a取值范围；

(2) 如图3，连接BD ，若a=4，AE=2AF ，直线FP交△BCD的边于点G ，是否存在点G ，使得以E ， G ， P为顶点的三角形与△AEF相似．若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P以每秒2个单位的速度从点A沿 $\text{[math]}$ 向终点C运动（点P与点D不重合），当点P出发后，作 $\text{[math]}$ ，点E在直线 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿PE翻折到 $\text{[math]}$ 处，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 的长为；

(2) 用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 当点Q落在矩形 $\text{[math]}$ 的对角线上时，求t的值．（求出一个即可）

(4) 连接 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 经过矩形 $\text{[math]}$ 的边的中点时，直接写出t的值．（写出一个即可）

解答题普通

3. 已知，如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作 $\text{[math]}$ ，交BD与点F，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

（1）当t为何值时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

（2）设五边形OECQF的面积为 $\text{[math]}$ ，求S关于t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分 $\text{[math]}$ ?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．

解答题困难