如图1，矩形ABCD中，AB=a ， BC=6，点E ， F分别为AD ， AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P ．

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1. 如图1，矩形ABCD中，AB=a ， BC=6，点E ， F分别为AD ， AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P ．

(1) 若点B与点F重合

①如图2，若a=5，当点P落在BC中垂线上时，求AE的长；

②当点P可以两次落在在BC中垂线上时，求a取值范围；

(2) 如图3，连接BD ，若a=4，AE=2AF ，直线FP交△BCD的边于点G ，是否存在点G ，使得以E ， G ， P为顶点的三角形与△AEF相似．若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P以每秒2个单位的速度从点A沿 $\text{[math]}$ 向终点C运动（点P与点D不重合），当点P出发后，作 $\text{[math]}$ ，点E在直线 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿PE翻折到 $\text{[math]}$ 处，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 的长为；

(2) 用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 当点Q落在矩形 $\text{[math]}$ 的对角线上时，求t的值．（求出一个即可）

(4) 连接 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 经过矩形 $\text{[math]}$ 的边的中点时，直接写出t的值．（写出一个即可）

解答题普通

2. 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究：

【教材呈现】（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，直接写出一个与 $\text{[math]}$ 相似的三角形；

【类比探究】（2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【拓展提升】（3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.若AB＝12，BC＝10，求DF的长.

解答题普通