【模型建立】：如图1，在正方形中，E ， F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．

1. 【模型建立】：如图1，在正方形中，E ， F分别是边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

(1) 小宋的探究思路如下：延长 $\text{[math]}$ 到点G ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 之间的数量关系为．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

(2) 【模型应用】：

如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点F为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展提升】：

通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（用含a、b的代数式表示）

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践：

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

【操作发现】

（1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为 $\text{[math]}$ ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ．根据以上操作，求 $\text{[math]}$ ；

【拓展探究】

（2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿 $\text{[math]}$ 继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕 $\text{[math]}$ 上的点N处，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P．若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

【迁移应用】

（3）如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边在矩形在 $\text{[math]}$ 内部构造矩形 $\text{[math]}$ ．

(1) 特例发现

如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究

如图 $\text{[math]}$ ，如图，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 拓展运用

如图 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 在旋转的过程中， $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 时，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为．

实践探究题普通

3. 【知讯回原】

已知 $\text{[math]}$ 的面积为1．如图1，分别将 $\text{[math]}$ 边2等分， $\text{[math]}$ 是其分点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到四边 $\text{[math]}$ ．