综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作发现】（1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求；【拓展探究】（2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长；【迁移应用】（3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长．

1. 【问题背景】

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一张等腰直角三角形纸板， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中点进行第 $\text{[math]}$ 次剪取，记所得正方形面积为 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ ，在余下的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 $\text{[math]}$ 次剪取，并记这两个正方形面积和为 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ .

【问题探究】

（1） $\text{[math]}$ ______ ；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 $\text{[math]}$ 次剪取，并记这四个正方形面积和为 $\text{[math]}$ 继续操作下去 $\text{[math]}$ ，则第 $\text{[math]}$ 次剪取时， $\text{[math]}$ ______ ；第 $\text{[math]}$ 次剪取时， $\text{[math]}$ ______ ．

【拓展延伸】

在第 $\text{[math]}$ 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．

实践探究题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

1. 矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边在矩形在 $\text{[math]}$ 内部构造矩形 $\text{[math]}$ ．

(1) 特例发现

如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究

如图 $\text{[math]}$ ，如图，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 拓展运用

如图 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 在旋转的过程中， $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 时，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为．

实践探究题普通

2. 【知讯回原】

已知 $\text{[math]}$ 的面积为1．如图1，分别将 $\text{[math]}$ 边2等分， $\text{[math]}$ 是其分点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到四边 $\text{[math]}$ ．