在中，，点D为边BC上一点，连接AD ．

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为边BC上一点，连接AD ．

(1) 【感知】如图①，若 $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，则CD的长为；

(2) 【探究】如图②，将 $\text{[math]}$ 沿AD翻折，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形， $\text{[math]}$ ，求CD的长；

(3) 【拓展】如图③，将 $\text{[math]}$ 沿AD翻折，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．以AC、BC为边作矩形ACBE ．若点D、 $\text{[math]}$ 、E在一条直线上，且 $\text{[math]}$ ，直接写出CD的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为CD上一动点（不与C，D重合）

(1) 如图（1），将 $\text{[math]}$ 沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长；

(2) 如图（2），将 $\text{[math]}$ 沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长；

(3) 如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将 $\text{[math]}$ 沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长．

实践探究题困难

2. （1）问题情境：“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．

第1步：有一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 边上取一点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在矩形内部 $\text{[math]}$ 处；

第2步：再次翻折矩形，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在直线重合，点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．若翻折后的纸片如图1所示，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）拓展应用：若一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的一边与矩形纸片的一边重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求该矩形纸片的面积．