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1.
(1) 【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容．

例4 如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE ， 使CE∥AB ， 交AD的延长线于点E ． 求证：AD＝ED ．

证明：∵CE∥AB（已知），

请根据教材内容，结合图①，补全证明过程．
(2) 【结论应用】

如图②，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连结CE ， 线段CE与BA边的延长线交于点F ， 点P、Q分别在线段CE、EF上，且CP＝FQ ．

求证：四边形APDQ是平行四边形．
(3) 如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，分别取AB、CD边的中点E、F ， 连结EF ， 经过线段EF中点O任意作一条直线l ， 作点B关于直线l的对称点P ， 连结PE、PO、PF ， 过点E作PF的平行线交PO的延长线于点Q ， 连结FQ ， 得到四边形PEQF ． 则四边形PEQF面积的最大值为．
【考点】
平行四边形的判定; 三角形全等的判定-AAS; 四边形的综合; 四边形-动点问题;
【答案】

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实践探究题 困难
能力提升
换一批
1. 综合与实践

问题情境

如图1，已知线段 ， 射线 ， 射线 ， 点D在射线上沿着的方向运动，过点D作交于点C，点E是的中点，连接 ， 将沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接 ．

(1) 探究展示：当时，求的值；
(2) 如图2，延长交于点G，当点G恰好是中点时，求证：四边形是正方形；
(3) 拓展探究：在图2中，若 ， 直接写出的长度．
实践探究题 困难
2. 已知正方形ABCD ， 将边AB绕点A顺时针旋转至线段AE ， ∠DAE的平分线所在直线与直线BE相交于点F ．
(1) 【探索发现】

如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
(2) 【深入探究】

在（1）的条件下 ， ①∠DEB的度数为            ；②连接CF ， 猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
(3) 【拓展思考】

若正方形的边长 ， 当以点C ， F ， D ， E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
实践探究题 困难
3. 【问题背景】

人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点 ， 点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ． 想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点 ， 点落在线段上，为常数）．

(1) 【特例证明】

如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边 ， 相交于点 ， ．

①填空：    ▲    ；

②求证： ． （提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作 ， 的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．
(2) 【类比探究】

如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
(3) 【拓展运用】

如图3，点在边上， ， 延长交边于点 ， 若 ， 求的值．
实践探究题 困难