如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F ，交的延长线于点E ，交于点N ．

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1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，M为 $\text{[math]}$ 上一点，F是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，垂足为F ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E ，交 $\text{[math]}$ 于点N ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

平行线的性质; 勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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解答题普通

1. 某校数学兴趣小组活动，准备将一块三角形纸板(图①)分割成四块，然后拼成一张长方形纸板(无缝隙无重叠)．如图②，分别取AB，AC的中点D，E，作DG⊥BC于点G，EF⊥BC于点F，连结EG，分别作DM⊥EG于点M，FN⊥EG于点N．经测量，DM=8cm，GM=6cm．仔细观察图中分割与拼合方式，完成以下两个问题．

(1) 求证：△DME∽△GMD，并求出线段ME的长度．

(2) 求拼出的长方形纸板的面积．

解答题困难

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长．

解答题普通

3. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE，分别交AB和CD于G，H，求GF的长，并求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通