如图，点为正方形内一点，以为边作正方形，顶点恰好落在边上，连接．

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1. 如图，点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 某校数学兴趣小组活动，准备将一块三角形纸板(图①)分割成四块，然后拼成一张长方形纸板(无缝隙无重叠)．如图②，分别取AB，AC的中点D，E，作DG⊥BC于点G，EF⊥BC于点F，连结EG，分别作DM⊥EG于点M，FN⊥EG于点N．经测量，DM=8cm，GM=6cm．仔细观察图中分割与拼合方式，完成以下两个问题．

(1) 求证：△DME∽△GMD，并求出线段ME的长度．

(2) 求拼出的长方形纸板的面积．

解答题困难

2. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE，分别交AB和CD于G，H，求GF的长，并求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形．

要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；

②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同；

③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大．

甲同学的方案	乙同学的方案

请根据以上信息，完成下列问题：

(1) 甲同学的方案中，拼成的正方形边长是________ $\text{[math]}$ ；

(2) 求出乙同学方案中拼成的正方形的边长；

(3) 以上两个同学的方案中，________（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大；

(4) 请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长）

解答题困难