如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C ．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C ．

(1) 求二次函数解析式；

(2) 如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D ，使得 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

(3) 如图2，平面上一点 $\text{[math]}$ ，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，分别交y轴于M、N两点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数图象上点的坐标特征; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y＝ax²+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.

(1) 求该抛物线的函数解析式；

(2) 如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当S_△COF：S_△CDF＝2：1时，求点D的坐标；

(3) 如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上.

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图①，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的下方，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图②， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，射线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

综合题困难

3. 已知，抛物线y=ax²+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE= $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2) 求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；

(3) 在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S_△_ACP= $\text{[math]}$ S_△_ACD ，求点P的坐标；

(4) 在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

综合题困难