在矩形中，为常数，点是对角线上一动点不与，重合，将射线绕点逆时针旋转与射线交于点，连接．

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为常数 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，将射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 特例发现：如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，将点 $\text{[math]}$ 移动到对角线交点处，可发现点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；当点 $\text{[math]}$ 移动到其它位置时， $\text{[math]}$ 的大小 $\text{[math]}$ 填“改变”或“不变” $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 时，当 $\text{[math]}$ 的值确定时，请探究 $\text{[math]}$ 的大小是否会随着点 $\text{[math]}$ 的移动而发生变化，并说明理由；

(3) 拓展应用：当 $\text{[math]}$ 时，如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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实践探究题困难

1. 问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

(1) 【发现证明】

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

(2) 【类比引申】

如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．

(3) 【探究应用】

如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ $\text{[math]}$ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ =1.41， $\text{[math]}$ =1.73）