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1. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知AD是的角平分线，可证.小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作 ， 交AD的延长线于点E ， 从而证得.

(1) 证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明：；
(2) 运用：如图3，AD是的角平分线，M是BC边的中点，过M点作 ， 交BA的延长线于点N ， 交AC于点G.若 ， ， 直接写出线段AN的长；
(3) 拓展：如图4，是的外接圆，AB是直径，点D是半圆AB的中点，连接CD交AB于点E.若 ， ， 直接写出线段DE的长.
【考点】
勾股定理的应用; 圆周角定理; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质;
【答案】

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实践探究题 困难
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1. 【知讯回原】

已知的面积为1．如图1，分别将边2等分，是其分点，连接 ， 交于点 ， 得到四边 ．

（1）则的面积=　　； =　　 ．

（2）四边形的面积=　　 ．

【拓展探究】

（3）如图2，分别将边3等分，是其分点，连接交于点 ， 得到四边形 ， 其面积=　　；

如图3，分别将边4等分，是其分点，连接交于点 ， 得到四边形 ， 其面积=　　；

按照这个规律进行下去，若分别将边n等分，…，得到四边形 ， 其面积=　　；

【知识运用】

（4）如图4，中， ， 四边形的面积=　　 ．

实践探究题 普通
2. 综合与探究

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点A坐标为（﹣1，0）．直线l为该抛物线的对称轴，且交直线BC于点D．抛物线上有一动点P，且横坐标为m（4＜m＜9），连接PD，过点P作PE⊥l于点E．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式．

（2）当△DEP与△BOC相似时，求m的值；

（3）如图2，点M为直线BC上一动点，是否存在点P，使得以点A，C，P．M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点P和点M的坐标；若不存在，说明理由．
实践探究题 困难
3. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E，F在边AB上 ， 且点C，D，G，H在直线AB的同侧；第二步，设置 ， 矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点 ， 射线OH与射线AD相交于点（点 ， 不重合），射线OG与射线BC相交于点（点Q，C不重合），观测DP，CQ的长度.

(1) 如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E，A重合时，CQ=.
(2) 小丽滑动矩形EFGH，使得О恰为边AB的中点.她发现对于任意的m≠n，DP=CQ总成立.请说明理由.
(3) 经过数次操作，小丽猜想，设定m，n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.
实践探究题 困难