如图，，， M、N分别在线段、上．

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1. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M、N分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上．

(1) 如图1中，M是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 图2中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 图3中， $\text{[math]}$ ， P在射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 【经验积累】

如图①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一点，连接DE，CE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．

(1) 求证AD²＝DF•DE．

(2) ①求证△CDF∽△EDC；

②若CF= $\text{[math]}$ CD，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ．

(3) 【方法迁移】

如图②，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

(1) ①求线段CD的长；

②求证：△CBD∽△ABC.

(2) 设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

(3) 是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

综合题普通

3. 如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通