在中，是的直径，弦与交于点E ，且，点F是弧的中点，连接、，与交于点M.

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E ，且 $\text{[math]}$ ，点F是弧 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M.

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，过点O作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点N ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形—边角关系;

【答案】

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综合题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 内接于圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的高线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

①若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的长；

②当 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积差最大时，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

2. 如图，在半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4 $\text{[math]}$ ， C是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，D是弦AC的中点，E是弦BC的中点，连结DE，OD，OE.

(1) 求∠AOB的度数。

(2) 当点C沿着AB从点A开始，按逆时针方向运动到点B时，求△ODE的外心所经过的路径长。

(3) 分别记△ODE，△CDE的面积为 S₁ ， S₂.当 S²-S²=21时，求弦AC的长。

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3. 如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

(1) 求证：CE是⊙O的切线；

(2) 若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．

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