如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连接交于点，连接，过点的切线交的延长线于点．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是一条不过圆心 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三等分点，直径 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为5。

下面三个问题，依次按照易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．

①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长；

③若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

勾股定理; 圆周角定理; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在每个小正方形的边长为 $\text{[math]}$ 的网格中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 均落在格点上， $\text{[math]}$ 为⊙ $\text{[math]}$ 的直径．

(1) $\text{[math]}$ 的长等于；

(2) 请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以 $\text{[math]}$ 为斜边、面积为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，并简要说明点 $\text{[math]}$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

综合题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 和动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 右侧， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 右侧的圆弧于点 $\text{[math]}$ .在射线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ .

(1) 用关于 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 右侧时，若矩形 $\text{[math]}$ 的面积等于90，求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 右侧时，作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的弦心距为1，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 半径为2，弦 $\text{[math]}$ ， A是弦 $\text{[math]}$ 所对优弧上的一个点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 点M，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 过点A作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点H，D．求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通