在矩形中，已知，连接，点是边上的一动点，的半径为定值．图1 图2 图3

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一动点， $\text{[math]}$ 的半径为定值 $\text{[math]}$ ．

图1 图2 图3

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，恰好与 $\text{[math]}$ 相切，求 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一动点，求三角形 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(3) 若 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒一个单位长度向 $\text{[math]}$ 点运动，同时，动点 $\text{[math]}$ 分别从点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 出发，其中点 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 方向向点 $\text{[math]}$ 运动，速度为每秒1个单位长度，点 $\text{[math]}$ 沿着射线 $\text{[math]}$ 方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接 $\text{[math]}$ ，如图3所示，当 $\text{[math]}$ 平移至点 $\text{[math]}$ （圆心 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合）时停止运动，点 $\text{[math]}$ 也随之停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）．在运动过程中，是否存在某一时间 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，若存在，请求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理; 矩形的性质; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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