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1.

(1) 如图①，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD ， BC ，线段AD与BC的数量关系是；

(2) 【类比迁移】如图②，将图①中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由；

(3) 【方法运用】如图③，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC.若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD ，连接AD ，求线段AD的最大值．

【考点】

三角形全等及其性质; 等腰三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 定点定长辅助圆模型;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．

如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1) 图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2) 图③中，AB=2，BC=3，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 当AB=m ， BC=n时． $\text{[math]}$ ．

(4) 在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．

实践探究题困难

2. 综合与实践

问题情境：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 猜想验证：

试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相似？并证明你的猜想．

(2) 探究证明：

如图，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G， $\text{[math]}$ 是否成立？并说明理由．

(3) 拓展延伸：

若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 数学模型学习与应用．【学习】如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ 于点E．由 $\text{[math]}$ ，得∠1=∠D；又 $\text{[math]}$ ，可以通过推理得到 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；

(1) 【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用含x的式子表示CD的长；

(2) 【拓展】在 $\text{[math]}$ 中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求CD的长；

(3) 如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B为平面内任一点． $\text{[math]}$ 是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．

实践探究题普通