如图，将矩形纸片分别沿，折叠，使点，恰好都落在对角线的中点处，点，分别在，边上．

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1. 如图，将矩形 $\text{[math]}$ 纸片分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好都落在对角线 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

【考点】

三角形全等及其性质; 平行四边形的性质; 菱形的判定; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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证明题普通

1. 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？

小西进行了以下操作研究（如图1）：

第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．

第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．

小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：

将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．

请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：

①直接写出BE和BN的数量关系： ▲ ；

②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；

③求证：四边形BGHM是菱形．

证明题普通

2. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点 $\text{[math]}$ .

求证：四边形OBEC是菱形.

证明题普通

3. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

求证：四边形OCED是菱形．

证明题普通