如图，半圆的直径．点在半圆上，连接，，过点作分别交，于点，，连接交于点．

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1. 如图，半圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；

(2) 将点 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ．

①当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的长；

②当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

旋转的性质; 三角形全等的判定-AAS; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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综合题困难

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是BC上一点， $\text{[math]}$ 交AD于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用图中已有线段表示）；

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中，M、N是AB上的两点，且满足 $\text{[math]}$ ，在BC上取一点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 分别交CM的延长线、CN于点P、Q ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，在正方形ABCD中，点 $\text{[math]}$ 是BC上一点，连结AE交BD于点 $\text{[math]}$ ，在AF上取一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求BE的长.

综合题困难

2. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3 $\text{[math]}$ ，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．

(1) 线段DC=；

(2) 求线段DB的长度．

综合题普通

3. 【发现证明】

如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．

(1) 【类比引申】如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

(2) 【联想拓展】如图4，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．

综合题困难