四边形是边长为 4 的正方形，点在边所在的直线上，连结，以为边，作正方形 (点在直线的同侧)，连结．

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1. 四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 4 的正方形，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 所在的直线上，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边，作正方形 $\text{[math]}$ (点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的同侧)，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图 2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ．求： ①点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离．② $\text{[math]}$ 的长．

(3) 若 $\text{[math]}$ ，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作 $\text{[math]}$ ，交边CD于点F，若 $\text{[math]}$ ，求BE的长.

下面是小明、小华和小东三位同学关于本题不同视角下的部分思维过程：

小明：从直线BD是正方形的对称轴角度看，连接EC，如图2，则 $\text{[math]}$ ， ∠ECD＝∠EAD，又 $\text{[math]}$ ， ……

小华：从 $\text{[math]}$ 的角度看，可以过点E作BC的平行线，交AB、CD于M、N，如图3，通过证明 $\text{[math]}$ ， ……

小东：从 $\text{[math]}$ 的角度看，还可以过点E作BD的垂线，交DC的延长线于点P，如图4，……

请结合上面的思路，求BE的长.

解答题困难

2. 如图，在边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，并写出解答过程.

解答题普通

3. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．

(1) 如图1，图案1是以Rt $\text{[math]}$ 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 之间的数量关系：．

(2) 如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80， $\text{[math]}$ ，求该飞镖状图案的面积．

(3) 如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形 $\text{[math]}$ ，记图中正方形 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

解答题普通