在矩形ABCD中，，，点P是BC上的一个动点，点F与点B关于AP对称，连结AF ， PF ，延长AF交射线BC于点E，延长PF交DC或AD于点M ，如图1，图2．

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1. 在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是BC上的一个动点，点F与点B关于AP对称，连结AF ， PF ，延长AF交射线BC于点E，延长PF交DC或AD于点M ，如图1，图2．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求∠BAP；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求PE的长；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 等腰直角三角形; 矩形翻折模型;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ 为锐角 $\text{[math]}$ 内部一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，在点 $\text{[math]}$ 的整个运动过程中.

①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

②若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

2. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，H为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，发现 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为定值.

(1) ① $\text{[math]}$ ▲ ；

② $\text{[math]}$ ▲ .

③小明为了证明①②，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于O ，连接 $\text{[math]}$ ，证明了 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，请你按他的思路证明①②.

(2) 小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）

求① $\text{[math]}$ （用k的代数式表示）

② $\text{[math]}$ （用k、 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

综合题困难

3. 在 $\text{[math]}$ 中，D，E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 至点F，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.

(2) $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ，若G是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.

综合题普通