如图，在菱形ABCD中，于，以CH为直径的分别交BC，AC于点E，F，连接EF.

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1. 如图，在菱形ABCD中， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，以CH为直径的 $\text{[math]}$ 分别交BC，AC于点E，F，连接EF.

(1) 求证：CD是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

【考点】

勾股定理; 菱形的性质; 切线的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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证明题困难

1. 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，点O为对角线交点， $\text{[math]}$ 边的垂直平分线交线段 $\text{[math]}$ 于点P（P不与O重合），连接 $\text{[math]}$ ，以点P为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径的圆交直线 $\text{[math]}$ 于点E，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点F，如图所示．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求证：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切；

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 在菱形 $\text{[math]}$ 的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

证明题困难

2. 如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）相交于点E，且CE=DE，过点B作CD的平行线交AD延长线于点F．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）连接BC，若⊙O的半径为4，sin∠BCD= $\text{[math]}$ ，求CD的长？

证明题普通

3. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．

（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC²=AM²+BC²；

（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；

（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN²=AM²+BN²成立吗？

证明题普通