综合探究：如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，口ABCD的顶点B.C在x轴上，A在y轴上，OA=OC=2OB=4，直线y=x+t（－2≤t≤4）分别与x轴、y轴、线段AD、直线AB交于点E、F、P、Q.

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1. 综合探究：如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，口ABCD的顶点B.C在x轴上，A在y轴上，OA=OC=2OB=4，直线y=x+t（－2≤t≤4）分别与x轴、y轴、线段AD、直线AB交于点E、F、P、Q.

(1) 当t=1时，求证：AP=DP.

(2) 探究线段AP、PQ之间的数量关系，并说明理由.

(3) 在x轴上是否存在点M，使得∠PMQ=90°，且以点从P、O为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请直接写出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】

平行四边形的性质; 相似三角形的判定与性质; 数学思想; 三角形的综合; 一次函数的其他应用;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【基础巩固】如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若BD=3，CD=1，求AB²-AC²的值；

(2) 【尝试应用】如图②，点C在△ABD的边BD上，满足AB=AC，求证：AD²-AC²=BD·CD；

(3) 【拓展提高】如图③，已知点D为Rt△ABC斜边上一点，过点D作AB的垂线，交AC于点E，点G在CE的中垂线上，连结AG，若CG= $\text{[math]}$ BD，求证：求证：AG＝ $\text{[math]}$ （AD+AB）．

实践探究题困难

(1) 【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2) 【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．连接BD，CE．

①求 $\text{[math]}$ 的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

实践探究题困难

(1) 【基础探究】如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 【拓展延伸】如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

(3) 【拓展延伸】如图③，点 $\text{[math]}$ 为四边形 $\text{[math]}$ 内部一点，且有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

实践探究题困难