已知四边形是边长为9的正方形，点在射线上．

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1. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是边长为9的正方形，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 位于边 $\text{[math]}$ 的中点时，以 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径作半圆 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是半圆弧上任意一点．

①点 $\text{[math]}$ 之间的最短距离为__________；

②连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 位于边 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ 时，以 $\text{[math]}$ 为圆心，以5为半径作半圆 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 及其延长线于点 $\text{[math]}$ ．现将半圆 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$ ，得到半圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ．

①当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，求 $\text{[math]}$ ；

②当半圆 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 的边相切时，求圆心 $\text{[math]}$ 到边 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

正方形的性质; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 已知点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，以 $\text{[math]}$ 为边长作正方形 $\text{[math]}$ ，使正方形顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的夹角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上时，求点 $\text{[math]}$ 坐标；

(2) ①如图2，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②如图3，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，则称Q为P关于图形G的射影点．

(1) 当 $\text{[math]}$ 的半径为2时，

①在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，关于 $\text{[math]}$ 的射影点存在的有；

②点P在直线 $\text{[math]}$ 上，若P关于 $\text{[math]}$ 的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；

(2) $\text{[math]}$ 的圆心在x轴上，半径为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的射影点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．

解答题困难

3. 对于两条不平行的直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，它们所夹的角之一为 $\text{[math]}$ ．将点 $\text{[math]}$ 先关于 $\text{[math]}$ 作轴对称点 $\text{[math]}$ ，再将 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 作轴对称点 $\text{[math]}$ ．称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 对称点

$\text{[math]}$ 的半径为1．

(1) 当两条对称轴分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 对称点坐标

(2) 直接写出 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 对称点横坐标的取值范围

(3) $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上两个不同的点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 对称点． $\text{[math]}$ 的纵坐标取值范围 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值

(4) $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴除原点外一点，使得 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交y轴于点 $\text{[math]}$ 上有 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 对称点直接写出k的取值范围．

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