如图，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t秒．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $\text{[math]}$ 方向移动，作 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称 $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为t秒．

(1) 若 $\text{[math]}$ ．

①当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，求此时t的值；

②是否存在t，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求t的值？若不存在，请说明理由；

(2) 当点P不与C重合时，若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点M，且当 $\text{[math]}$ 时存在结论“ $\text{[math]}$ ”成立，试探究：对于 $\text{[math]}$ 的任意时刻，结论“ $\text{[math]}$ ”是否总是成立？请说明理由．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 勾股定理; 矩形的性质; 正方形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【试题背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d₁、d₂、d₃ ，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“绣湖四边形”．

(1) 【探究1】如图1，正方形ABCD为“绣湖四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．

(2) 【探究2】矩形ABCD为“绣湖四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为．（直接写出结果即可）

(3) 【探究3】如图2，菱形ABCD为“绣湖四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、M．求证：EC=DF．

(4) 【拓展】如图3，l∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．

实践探究题困难

2. 某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为CD上一动点（不与C，D重合）

(1) 如图（1），将 $\text{[math]}$ 沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长；

(2) 如图（2），将 $\text{[math]}$ 沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长；

(3) 如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将 $\text{[math]}$ 沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长．

实践探究题困难

3. （1）问题情境：“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．

第1步：有一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 边上取一点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在矩形内部 $\text{[math]}$ 处；

第2步：再次翻折矩形，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在直线重合，点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．若翻折后的纸片如图1所示，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）拓展应用：若一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的一边与矩形纸片的一边重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求该矩形纸片的面积．

实践探究题普通