在平行四边形中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），，，为锐角，且．

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1. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为锐角，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，过点C作 $\text{[math]}$ 于点H，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，P是边 $\text{[math]}$ 上的一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在射线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) P是边 $\text{[math]}$ 上的一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

平行四边形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，图2，在 $\text{[math]}$ 中，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线开始绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 第一次重合时，停止运动，点 $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 有交点时，设交点分别为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时，设 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；

(3) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时，求半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形的面积；

(4) 在半圆旋转的过程中，如果半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边（或边所在的直线）相切，请接写出 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速向点 $\text{[math]}$ 运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速向点 $\text{[math]}$ 运动，速度为 $\text{[math]}$ ；过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段 $\text{[math]}$ 也停止运动，连接 $\text{[math]}$ ．解答下列问题：

(1) 当t为何值时，点Q在 $\text{[math]}$ 的平分线上．

(2) 设五边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求y与t之间的函数关系式．

(3) 是否存在某一时刻，使得点C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，相交于点G，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F，设 $\text{[math]}$ ．

【变中不变】

（1）明明发现：连接 $\text{[math]}$ ，当点E的位置在 $\text{[math]}$ 上发生变化时， $\text{[math]}$ 的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．

∵ $\text{[math]}$ ，且①_______；

∴ $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ 即： $\text{[math]}$ ；

又∵ $\text{[math]}$ ；

∴②_______；

∴ $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ ；

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ ③_______°，即 $\text{[math]}$ 度数不变．

【尝试应用】

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【思维拓展】

（3）将 $\text{[math]}$ 绕着点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的x，使得 $\text{[math]}$ 有顶点落在直线 $\text{[math]}$ 上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．

解答题困难