如图1，在矩形中，，，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点Q运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接，设点P运动的时间为ts．

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1. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒 $\text{[math]}$ 的速度出发，且分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方向运动，当点Q运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接 $\text{[math]}$ ，设点P运动的时间为ts．

(1) 如图1，在点P、Q运动过程中．

①点P与点D的最短距离为_________ $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时，t的值为_________；

(2) 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点E，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点F．

①求 $\text{[math]}$ 的正切值（用含t的代数式表示）；

②如图2，当 $\text{[math]}$ 时，试探究线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

③如图3，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

垂线段最短及其应用; 线段垂直平分线的性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定; 四边形-动点问题; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒．

(1) 线段AC的长=；

(2) 当△PCF与△EDF相似时，求t的值．

综合题普通

2. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？

(2) 试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．

综合题普通

3. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB=AD．

(1) 判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．

(2) AF与DF相等吗？为什么？

综合题普通