【综合运用】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点B的坐标为，点P，Q分别是线段上的动点，在运动过程中保持，连接，，．

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1. 【综合运用】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点A在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，点P，Q分别是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，在运动过程中保持 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

(2) 设 $\text{[math]}$ 的面积为S，求S的最大值；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值及此时点P的坐标．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 解直角三角形;

【答案】

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实践探究题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，且 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ．探究：

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

延伸：如图2，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．

(2) 小东经过研究发现：“当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动时， $\text{[math]}$ 的长度不变，是个定值．”你认为小东的结论是否正确，如果正确，请求出这个定值；如不正确，说明理由．

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

2. （1）问题探究：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点E是斜边 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

（2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，F为 $\text{[math]}$ 中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道 $\text{[math]}$ （宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．

实践探究题困难

3. 综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．

(1) 填空：【初步尝试】我们知道： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，发现 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）．

(2) 【实践探究】在解决“如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值”这一问题时，小邕想构造包含 $\text{[math]}$ 的直角三角形，延长 $\text{[math]}$ 到点 D，使 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ，所以可得 $\text{[math]}$ ，问题即转化为求 $\text{[math]}$ 的正切值，请按小邕的思路求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展延伸】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通