（1）问题探究：如图①，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上的任意一点，连接，请求出的最小值．（2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖，已知，米，米，米，F为中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道（宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．

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1. （1）问题探究：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点E是斜边 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

（2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，F为 $\text{[math]}$ 中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道 $\text{[math]}$ （宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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实践探究题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，且 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ．探究：

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

延伸：如图2，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．

(2) 小东经过研究发现：“当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动时， $\text{[math]}$ 的长度不变，是个定值．”你认为小东的结论是否正确，如果正确，请求出这个定值；如不正确，说明理由．

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

2. 综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．

(1) 填空：【初步尝试】我们知道： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，发现 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）．

(2) 【实践探究】在解决“如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值”这一问题时，小邕想构造包含 $\text{[math]}$ 的直角三角形，延长 $\text{[math]}$ 到点 D，使 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ，所以可得 $\text{[math]}$ ，问题即转化为求 $\text{[math]}$ 的正切值，请按小邕的思路求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展延伸】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

3. 综合与实践．

【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车的灯光易引发眩光现象，进而导致交通事故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光．

【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板，防眩板宽度是 $\text{[math]}$ 米（ $\text{[math]}$ 米）．一辆汽车车灯位于点 $\text{[math]}$ 时，车灯发出的光线 $\text{[math]}$ 分别经过防眩板 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，光线 $\text{[math]}$ 经过防眩板 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，道路 $\text{[math]}$ 米，光线 $\text{[math]}$ 和行驶路线的夹角 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【解决问题】

(1) $\text{[math]}$ 的长度是多少米？

(2) 防眩板 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间的距离 $\text{[math]}$ 是多少米？

实践探究题普通

1. 如图 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. 3 B. 2 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 边上的中点，连接 $\text{[math]}$ ，已知点F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点D．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

填空题困难

3. 规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 的长度是点 $\text{[math]}$ 到线 $\text{[math]}$ 的距离；当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 的长度是点 $\text{[math]}$ 到线段MN的距离；如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，如果点Q为边 $\text{[math]}$ 上一点，且点Q到线段 $\text{[math]}$ 的距离不超过 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的长为d，那么d的取值范围为．

填空题困难

1. 如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ____；

(2) 若点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图（2），点E是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，则：① $\text{[math]}$ =_____；

②如图（3）分别以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M、N分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点Q．

(1) 如图2，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由，若不变，请求出 $\text{[math]}$ 度数；

(2) 当点N在直线 $\text{[math]}$ 上方时，

①如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 的长度最小时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1) 操作判断

用分别含有 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有（填序号）．

(2) 性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．在课后数学老师留下了对邻等对补四边形与对角线相关性质的两个问题①和②，数学兴趣小组长小明邀请小组同学对老师留下的两个问题进行了研究，如下图所示，请你根据提示继续帮小明小组解决问题．

如图2，四边形 $\text{[math]}$ 是邻等对补四边形， $\text{[math]}$ 是它的一条对角线．

①如图2，写出图中相等的角，并说明理由；

小明小组讨论后，解题思路如下：① $\text{[math]}$ ，

理由：延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是邻等对补四边形，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你根据①的思路提示帮小明小组求出 $\text{[math]}$ 的长（用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）．

(3) 拓展应用

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别在边 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请具体写出求 $\text{[math]}$ 长的过程．